Una teoria fisica non può avere la pretesa di essere una “teoria del tutto” ed ha un preciso campo di esistenza, che la rende applicabile a un certo numero di fenomeni.
CIOTTOLI DI PSICOPATOLOGIA GENERALE – Spigolare (Nr. 48)
Il Primo Teorema di incompletezza di Gödel dice che:
In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l’aritmetica, esiste una formula tale che, se T è coerente, allora né
né la sua negazione
Con qualche semplificazione, il primo teorema afferma che:
In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali — vale a dire, sufficientemente potente da definire la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto — è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema.
Intuitivamente, la dimostrazione del primo teorema ruota attorno alla possibilità di definire una formula logica che nega la propria dimostrabilità. È dunque cruciale che T consenta di codificare formule autoreferenziali, che parlano cioè di se stesse: questa richiesta è garantita dal fatto che T è espressiva almeno quanto l’aritmetica o più in generale che T sia in grado di rappresentare tutte le funzioni ricorsive primitive.
Merito di Gödel fu dunque l’aver esibito tale proposizione e la vera potenza di tale teorema è che vale “per ogni teoria affine”, cioè per qualsiasi teoria formalizzata, forte quanto l’aritmetica elementare.
In particolare Gödel dimostrò che l’aritmetica stessa risulta incompleta: vi sono dunque delle realtà vere ma non dimostrabili.
Questo teorema, che esprime uno dei più discussi limiti della matematica, è uno dei più frequentemente fraintesi. È un teorema proprio della logica formale e, se estrapolato da questo contesto, può prestarsi facilmente a interpretazioni erronee. Ci sono diversi enunciati apparentemente simili al primo teorema di incompletezza di Gödel, ma che non sono in realtà veri.
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